틴매일경제

게티이미지뱅크

초등학교에서 곱셈을 배우고 나면 배수에 관한 문제를 수없이 마주합니다. 또 배수 문제를 어떻게 접근하는지에 따라 학생마다 계산 속도와 시간이 크게 달라집니다. 오늘은 간단한 배수 판정법을 활용해 직접 나누지 않고도 몇의 배수인지 빠르게 확인하는 방법을 같이 알아보고 증명해보려고 합니다.

먼저 가장 쉬운 2의 배수(짝수)부터 보겠습니다. 직접 나누지 않고 2의 배수인지 알아보는 방법은 주어진 수의 일의 자릿수가 2, 4, 6, 8, 0인지 확인하는 겁니다. 예를 들어 1342라는 숫자를 봅시다. 우리는 이 숫자의 일의 자릿수가 2이므로 1342가 2의 배수임을 파악할 수 있습니다. 같은 방법으로 5의 배수도 쉽게 찾아낼 수 있습니다. 일의 자릿수가 5 또는 0인 숫자는 5의 배수입니다.

2의 배수와 5의 배수를 판단할 때 일의 자리만 보고 쉽게 찾아낼 수 있는 것은 10이 2와 5의 공배수이기 때문입니다. 처음 예시로 들었던 1342를 가지고 다시 살펴봅시다. 1342는 1·1000+3·100+4·10+2·1이라고 생각할 수 있는데요. 10, 100, 1000이 이미 2와 5의 배수이므로 우리는 일의 자리만 보고 2와 5의 배수인지 찾아낼 수 있는 겁니다.

같은 논리로 4의 배수인지를 따질 수 있습니다. 4의 배수를 찾는 법은 마지막 두 자릿수를 확인하는 겁니다. 다시 1342를 볼까요? 마지막 두 자릿수는 42이고, 42는 4로 나누어떨어지지 않기 때문에 1342도 4의 배수가 아닙니다. 실제로 나누어본다면 1342=4·335+2로 나머지가 존재합니다. 4의 배수 판정법은 100이 4의 배수라는 것에 포인트를 둡니다. 1·1000+3·100+4·10+2·1에서 백의 자리부터는 모두 4의 배수이므로 우리는 십의 자리와 일의 자리만 가지고 판별하면 되는 것입니다.

2의 배수와 4의 배수를 쉽게 찾는 방법을 알았으니 8의 배수를 빠르게 알아내는 법을 보겠습니다. 8의 배수는 마지막 세 자릿수 그러니깐 백, 십, 일의 자리를 보고 판단하면 됩니다. 그 이유는 1000이 8의 배수이기 때문인데요.

2,718,281,828이 8의 배수인지 확인해 봅시다. 2718281828=2718281·1000+828이기 때문에 마지막 세 자리 숫자인 828이 8의 배수인지 확인하면 됩니다. 따라서 주어진 숫자는 8의 배수가 아니라는 것을 쉽게 알 수 있겠죠.

다음으로 3의 배수를 쉽게 찾는 방법을 보겠습니다. 3의 배수는 각 자리의 수를 모두 더한 값이 3의 배수가 나오면 됩니다.

이번에는 1만2345라는 수를 가지고 생각해 보겠습니다. 각 자리의 수를 모두 더하면 1+2+3+4+5=15인데 15는 3의 배수이므로 1만2345는 3의 배수라고 할 수 있겠죠? 9의 배수 역시 같은 논리가 적용됩니다. 각 자리의 수를 모두 더한 값이 9의 배수가 나오면 되는데요. 1만2345는 각 자리 숫자의 합이 15였고, 15는 9의 배수가 아니기 때문에 주어진 1만2345는 9의 배수가 되지 않습니다.

6의 배수는 6이 2와 3의 공배수라는 데 초점을 두면 됩니다. 주어진 숫자가 먼저 짝수인지 파악하고 각 자리의 숫자를 모두 더해 3의 배수인지 확인한 뒤, 둘 다 만족한다면 6의 배수라고 할 수 있습니다.

모든 자연수는 1로 나누어떨어지기 때문에 따로 1의 배수를 확인하지는 않겠습니다.

마지막으로 7의 배수가 있는데요. 7의 배수는 지금까지 소개한 방식처럼 간단하지 않습니다. 오히려 간단하지 않기에 다양한 접근법이 존재하는데요. 여기서는 쉬운 방법 하나만 소개하고 넘어가도록 하겠습니다. 숫자를 뒤에서부터 순서대로 세 자리씩 나눈 후에, 더하고 빼고를 반복해서 나온 수가 7의 배수인지 확인하는 겁니다.

31,741,929,061,878이라는 숫자가 7의 배수인지 확인해 보겠습니다. 31-741+929-061+878=1036인데 1036은 7의 배수이므로 31,741,929,061,878은 7의 배수입니다. 이 방법은 1001이 7의 배수라는 것에서 접근을 시작할 수 있는데요. 직접 고민해보면 좋을 것 같아 증명은 다음 글로 넘기도록 하겠습니다. 사실 개인적으로 문제를 풀다가 7의 배수를 확인해야 하는 때가 오면 직접 나누는 것이 가장 편하다고 생각합니다.

세상이 발전하며 모두의 손안에 계산기가 있는 상황에서 배수 판정법은 불필요한 과정이라고 생각할 수 있습니다. 하지만 아직 학교 내신 시험이나 수능에서는 계산기 사용이 허용되지 않기에 학생들이 문제를 푸는 과정에서 많이 적용할 수 있습니다.

오늘 설명한 내용은 한 자리 숫자의 배수를 찾아내는 방법이었는데, 더 큰 숫자의 배수 판정법도 다양합니다. 하지만 이 글에서는 여러분이 실제로 문제를 풀 때 많이 적용되는 내용만 다뤘습니다. 여러분의 문제 풀이 속도가 더 빨라지는 데 도움이 되었으면 좋겠습니다.

[박성종 대치에스학원 수학강사]